Kurt Gödel, Gödel pisał także Goedel, (urodzony 28 kwietnia 1906 r., Brünn, Austria-Węgry [obecnie Brno, Republika Czeska] - zmarł 14 stycznia 1978 r., Princeton, NJ, USA), urodzony w Austrii matematyk, logik i filozof, który uzyskał coś, co może być najważniejszym wynikiem matematycznym XX wieku: jego słynne twierdzenie o niekompletności, które stwierdza, że w dowolnym aksjomatycznym systemie matematycznym istnieją zdania, których nie można udowodnić ani obalić na podstawie aksjomatów w tym systemie; dlatego taki system nie może być jednocześnie kompletny i spójny. Dowód ten ustalił Gödela jako jednego z największych logików od czasów Arystotelesa, a jego konsekwencje są odczuwalne i dyskutowane do dziś.
podstawy matematyki: Gödel
W programie Hilberta ukryta była nadzieja, że syntaktyczne pojęcie sprawdzalności uchwyci semantyczne pojęcie prawdy. Gödel
Wczesne życie i kariera
Gödel cierpiał przez kilka okresów słabego zdrowia jako dziecko, po ataku w wieku 6 lat z gorączką reumatyczną, co spowodowało, że obawiał się resztkowych problemów z sercem. Jego dożywotnia troska o jego zdrowie mogła przyczynić się do jego ostatecznej paranoi, która obejmowała obsesyjne czyszczenie naczyń i martwienie się o czystość jego jedzenia.
Jako niemieckojęzyczny Austriak Gödel nagle znalazł się w nowo powstałym kraju Czechosłowacji, gdy pod koniec I wojny światowej w 1918 r. Rozpadło się Austro-Węgry. Sześć lat później wyjechał na studia do Austrii, na uniwersytecie w Wiedniu, gdzie uzyskał doktorat z matematyki w 1929 r. W następnym roku dołączył do wydziału na uniwersytecie w Wiedniu.
W tym okresie Wiedeń był jednym z intelektualnych ośrodków na świecie. Było domem dla słynnego kręgu wiedeńskiego, grupy naukowców, matematyków i filozofów, którzy poparli naturalistyczny, silnie empiryczny i antymetafizyczny pogląd znany jako logiczny pozytywizm. Doradca dysertacyjny Gödela, Hans Hahn, był jednym z liderów koła wiedeńskiego i przedstawił grupie swojego gwiazdora. Jednak poglądy filozoficzne Gödela nie mogły bardziej różnić się od poglądów pozytywistów. Subskrybował platonizm, teizm i dualizm umysł-ciało. Ponadto był nieco niestabilny psychicznie i cierpiał na paranoję - problem, który pogłębiał się wraz z wiekiem. Tak więc kontakt z członkami koła wiedeńskiego sprawił, że poczuł, że XX wiek był wrogi jego pomysłom.
Twierdzenia Gödla
W swojej rozprawie doktorskiej „Über die Vollständigkeit des Logikkalküls” („O kompletności rachunku logicznego”), opublikowanej w nieco skróconej formie w 1930 r., Gödel udowodnił, że jest jednym z najważniejszych logicznych rezultatów stulecia - a właściwie cały czas - mianowicie twierdzenie o kompletności, które ustanowiło, że klasyczna logika pierwszego rzędu lub rachunek predykatów, jest kompletna w tym sensie, że wszystkie logiczne prawdy pierwszego rzędu można udowodnić w standardowych systemach dowodzenia pierwszego rzędu.
Nie było to jednak nic w porównaniu z tym, co opublikował Gödel w 1931 r. - mianowicie twierdzenie o niekompletności: „Über formalny unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme” („O formalnie niezdecydowanych propozycjach Principia Mathematica i powiązanych systemach”). Z grubsza mówiąc, twierdzenie to doprowadziło do wniosku, że nie można zastosować metody aksjomatycznej do skonstruowania teorii matematycznej w jakiejkolwiek gałęzi matematyki, która pociąga za sobą wszystkie prawdy w tej gałęzi matematyki. (W Anglii Alfred North Whitehead i Bertrand Russell spędzili lata na takim programie, który opublikowali jako Principia Mathematica w trzech tomach w 1910, 1912 i 1913 r.) Na przykład nie można wymyślić aksjomatycznej teorii matematycznej który przechwytuje nawet wszystkie prawdy o liczbach naturalnych (0, 1, 2, 3,
). Był to niezwykle ważny wynik negatywny, ponieważ przed 1931 rokiem wielu matematyków próbowało to dokładnie zrobić - skonstruować systemy aksjomatów, które można by wykorzystać do udowodnienia wszystkich prawd matematycznych. Rzeczywiście, kilku znanych logików i matematyków (np. Whitehead, Russell, Gottlob Frege, David Hilbert) spędzili znaczną część swojej kariery w tym projekcie. Na nieszczęście dla nich twierdzenie Gödla zniszczyło cały ten aksjomatyczny program badawczy.
Międzynarodowa sława i przeprowadzka do Stanów Zjednoczonych
Po opublikowaniu twierdzenia o niekompletności Gödel stał się znaną na całym świecie postacią intelektualną. Kilka razy podróżował do Stanów Zjednoczonych i dużo wykładał na Uniwersytecie Princeton w New Jersey, gdzie poznał Alberta Einsteina. Był to początek bliskiej przyjaźni, która trwałaby aż do śmierci Einsteina w 1955 roku.
Jednak również w tym okresie zdrowie psychiczne Gödela zaczęło się pogarszać. Cierpiał na depresję, a po zamordowaniu Moritza Schlicka, jednego z przywódców kręgu wiedeńskiego, przez chorego ucznia, Gödel doznał załamania nerwowego. W nadchodzących latach cierpiał jeszcze kilka.
Po aneksji Austrii przez nazistowskie Niemcy 12 marca 1938 r. Gödel znalazł się w dość niezręcznej sytuacji, częściowo dlatego, że miał długą historię bliskich związków z różnymi żydowskimi członkami koła wiedeńskiego (rzeczywiście został zaatakowany na ulicach Wiednia przez młodych, którzy myśleli, że jest Żydem), a częściowo dlatego, że nagle groziło mu wcielenie do armii niemieckiej. 20 września 1938 r. Gödel poślubił Adele Nimbursky (z domu Porkert), a gdy rok później wybuchła II wojna światowa, wraz z żoną uciekł z Europy, jadąc koleją transsyberyjską przez Azję, żeglując przez Ocean Spokojny, a następnie pojechał innym pociągiem przez Stany Zjednoczone do Princeton w stanie New Jersey, gdzie z pomocą Einsteina objął stanowisko w nowo utworzonym Institute for Advanced Studies (IAS). Resztę życia spędził pracując i nauczając w IAS, z której przeszedł na emeryturę w 1976 r. Gödel został obywatelem USA w 1948 r. (Einstein był obecny na przesłuchaniu, ponieważ zachowanie Gödela było raczej nieprzewidywalne, a Einstein obawiał się, że Gödel może sabotować swój własna skrzynka.)
W 1940 r., Zaledwie kilka miesięcy po przybyciu do Princeton, Gödel opublikował kolejny klasyczny artykuł matematyczny, „Spójność aksjomatu wyboru i uogólnionej hipotezy ciągłości z aksjomatami teorii zbiorów”, który wykazał, że aksjomat wyboru i kontinuum hipoteza jest zgodna ze standardowymi aksjomatami (takimi jak aksjomaty Zermelo-Fraenkla) teorii mnogości. To ustanowiło połowę przypuszczenia Gödla - mianowicie, że hipotezy continuum nie można udowodnić jako prawdziwej lub fałszywej w standardowych teoriach. Dowód Gödela wykazał, że w tych teoriach nie można udowodnić, że jest fałszywy. W 1963 r. Amerykański matematyk Paul Cohen wykazał, że nie można tego udowodnić również w tych teoriach, potwierdzając przypuszczenie Gödla.
W 1949 r. Gödel wniósł także istotny wkład w fizykę, pokazując, że teoria ogólnej teorii względności Einsteina dopuszcza możliwość podróży w czasie.
