Diofantos, byname Diofantos Aleksandrii (rozkwit c ce. 250), greckiego matematyka, znanego ze swojej pracy w algebrze.
teoria liczb: Diophantus
Spośród późniejszych matematyków greckich na szczególną uwagę zasługuje Diofant z Aleksandrii (rozkwit ok. 250), autor
To, co niewiele wiadomo o życiu Diofantusa, jest poszlakowe. Z nazwy „Aleksandria” wynika, że pracował w głównym ośrodku naukowym starożytnego greckiego świata; a ponieważ nie wspomniano o nim przed IV wiekiem, wydaje się prawdopodobne, że rozkwitł on w III wieku. Można by wymyślić arytmetyczny epigramat z antologii Graeca z późnej starożytności, mający na celu odtworzenie niektórych punktów orientacyjnych jego życia (małżeństwo w wieku 33 lat, narodziny syna w wieku 38 lat, śmierć syna na cztery lata przed swoim w wieku 84 lat). Pod jego nazwiskiem przyjechały do nas dwie prace, obie niekompletne. Pierwszy to mały fragment na liczbach wielokątnych (liczba jest wielokąta, jeśli ta sama liczba kropek może być ułożona w postaci regularnego wielokąta). Drugim, wielkim i niezwykle wpływowym traktatem, na którym opiera się cała starożytna i współczesna sława Diofantusa, jest jego Arytmetyka. Jego historyczne znaczenie jest dwojakie: jest to pierwsza znana praca wykorzystująca algebrę w nowoczesnym stylu, która zainspirowała odrodzenie teorii liczb.
Arytmetyka rozpoczyna się wstępem skierowanym do Dionizy - prawdopodobnie św. Dionizy z Aleksandrii. Po kilku ogólnych uogólnieniach dotyczących liczb, Diofant wyjaśnia swoją symbolikę - używa symboli dla nieznanego (odpowiadającego naszemu x) i jego mocy, dodatniej lub ujemnej, a także do niektórych operacji arytmetycznych - większość tych symboli jest wyraźnie skrótami. Jest to pierwsze i jedyne wystąpienie symboliki algebraicznej przed 15 wiekiem. Po nauczeniu zwielokrotniania potęg nieznanego, Diofant wyjaśnia objaśnienie dodatnich i ujemnych terminów, a następnie, w jaki sposób zredukować równanie do jednego z tylko dodatnimi terminami (forma standardowa preferowana w starożytności). Po wyeliminowaniu tych wstępnych problemów Diofant przechodzi do problemów. Rzeczywiście, arytmetyka jest zasadniczo zbiorem problemów z rozwiązaniami, około 260 w części wciąż istnieje.
We wstępie stwierdzono również, że praca jest podzielona na 13 książek. Sześć z tych książek było znanych w Europie pod koniec XV wieku, przekazanych w języku greckim przez bizantyjskich uczonych i numerowanych od I do VI; cztery inne książki zostały odkryte w 1968 roku w tłumaczeniu na język arabski z IX wieku przez Qusṭa ibn Lūqā. Tekst arabski nie ma jednak symboliki matematycznej i wydaje się opierać na późniejszym greckim komentarzu - być może Hypatii (ok. 370–415) - który osłabił ekspozycję Diofantusa. Wiemy teraz, że numeracja greckich książek musi zostać zmieniona: Arytmika składa się zatem z książek od I do III w języku greckim, książek od IV do VII w języku arabskim i, prawdopodobnie, książek od VIII do X w języku greckim (dawne greckie książki od IV do VI). Dalsza numeracja jest mało prawdopodobna; jest całkiem pewne, że Bizantyjczycy znali tylko sześć książek, które przesłali, a Arabowie nie więcej niż Książki I do VII w skomentowanej wersji.
Problemy z Księgi I nie są charakterystyczne, ponieważ są to najczęściej proste problemy zilustrowane obliczaniem algebraicznym. Charakterystyczne cechy problemów Diofantusa pojawiają się w późniejszych książkach: są nieokreślone (mając więcej niż jedno rozwiązanie), są drugiego stopnia lub są redukowalne do drugiego stopnia (najwyższa moc na zmiennych to 2, tj. X 2) i kończą się ustaleniem dodatniej wartości wymiernej dla nieznanego, która sprawi, że dane wyrażenie algebraiczne będzie kwadratem numerycznym lub czasem sześcianem. (W całej swojej książce Diofant używa „liczby” w odniesieniu do tego, co nazywa się teraz dodatnimi, wymiernymi liczbami; w ten sposób liczba kwadratowa jest kwadratem pewnej dodatniej liczby wymiernej.) Książki II i III również uczą ogólnych metod. W trzech problemach Księgi II wyjaśniono, jak przedstawić: (1) dowolną liczbę kwadratową jako sumę kwadratów dwóch liczb wymiernych; (2) jakakolwiek podana liczba niekwadratowa, która jest sumą dwóch znanych kwadratów, jako suma dwóch innych kwadratów; oraz (3) dowolna dana liczba wymierna jako różnica dwóch kwadratów. Podczas gdy pierwszy i trzeci problem są ogólnie określone, zakładana znajomość jednego rozwiązania w drugim problemie sugeruje, że nie każda liczba wymierna jest sumą dwóch kwadratów. Diophantus podaje później warunek liczby całkowitej: podana liczba nie może zawierać żadnego czynnika pierwszego w postaci 4n + 3 podniesionego do nieparzystej mocy, gdzie n jest liczbą całkowitą nieujemną. Takie przykłady motywowały odrodzenie teorii liczb. Chociaż Diophantus zazwyczaj usatysfakcjonuje jedno rozwiązanie problemu, czasami wspomina o problemach, że istnieje nieskończona liczba rozwiązań.
W książkach IV – VII Diophantus rozszerza podstawowe metody, takie jak te opisane powyżej, na problemy wyższych stopni, które można sprowadzić do równania dwumianowego pierwszego lub drugiego stopnia. Przedmowy do tych książek stwierdzają, że ich celem jest zapewnienie czytelnikowi „doświadczenia i umiejętności”. Chociaż to ostatnie odkrycie nie zwiększa wiedzy o matematyce Diofantusa, zmienia ocenę jego zdolności pedagogicznych. Książki VIII i IX (prawdopodobnie książki greckie IV i V) rozwiązują trudniejsze problemy, nawet jeśli podstawowe metody pozostają takie same. Na przykład jeden problem polega na rozkładaniu danej liczby całkowitej na sumę dwóch kwadratów, które są dowolnie blisko siebie. Podobny problem polega na rozkładaniu danej liczby całkowitej na sumę trzech kwadratów; w nim Diofant wyklucza niemożliwy przypadek liczb całkowitych o postaci 8n + 7 (ponownie n jest liczbą całkowitą nieujemną). Książka X (prawdopodobnie książka grecka VI) dotyczy trójkątów prostokątnych o racjonalnych bokach i z zastrzeżeniem różnych dalszych warunków.
Treść trzech brakujących ksiąg arytmetyki można przypuszczać na podstawie wstępu, w którym po stwierdzeniu, że ograniczenie problemu powinno „w miarę możliwości” zakończyć się równaniem dwumianowym, Diofant dodaje, że „później” zajmie się sprawą równania trójmianowego - obietnica niespełniona w zachowanej części.
Chociaż dysponował ograniczonymi narzędziami algebraicznymi, Diofantowi udało się rozwiązać wiele różnych problemów, a arytmetyka zainspirowała matematyków arabskich, takich jak al-Karaji (ok. 980–1030), aby zastosowali swoje metody. Najsłynniejszym rozszerzeniem dzieła Diofantusa był Pierre de Fermat (1601–65), twórca współczesnej teorii liczb. Na marginesie swojej kopii Arytmetyki Fermat napisał różne uwagi, proponując nowe rozwiązania, poprawki i uogólnienia metod Diofantusa, a także niektóre przypuszczenia, takie jak ostatnie twierdzenie Fermata, które zajmowało matematyków przez kolejne pokolenia. Nieokreślone równania ograniczone do rozwiązań integralnych stały się znane, choć niewłaściwie, jako równania diofantyczne.
