Logika formalna

Tabele semantyczne

Od lat osiemdziesiątych popularność zyskała inna technika określania ważności argumentów na PC lub LPC, zarówno ze względu na łatwość uczenia się, jak i łatwą implementację przez programy komputerowe. Pierwotnie zasugerowany przez holenderskiego logika Everta W. Beth, został w pełni rozwinięty i opublikowany przez amerykańskiego matematyka i logika Raymonda M. Smullyana. Opierając się na spostrzeżeniu, że przesłanki ważnego argumentu nie są prawdziwe, a wniosek jest fałszywy, metoda ta próbuje interpretować (lub oceniać) przesłanki w taki sposób, aby wszystkie były jednocześnie spełnione, a negacja wniosek jest również zadowolony. Sukces w takim wysiłku pokazałby, że argument jest nieważny, a brak znalezienia takiej interpretacji oznaczałby, że jest on prawidłowy.

Konstrukcja tablicy semantycznej przebiega następująco: wyrażaj przesłanki i negację konkluzji argumentu na PC, używając tylko negacji (∼) i rozłączenia (∨) jako łączników zdań. Wyeliminuj każde wystąpienie dwóch znaków negacji w sekwencji (np. ∼∼∼∼∼a staje się ∼a). Teraz skonstruuj diagram drzewa rozgałęziający się w dół, tak aby każde rozłączenie zostało zastąpione dwiema gałęziami, jedną dla lewego rozłącznika i jedną dla prawej. Pierwotne rozłączenie jest prawdziwe, jeśli którakolwiek gałąź jest prawdziwa. Odniesienie do praw De Morgana pokazuje, że negacja rozłączenia jest prawdziwa na wypadek, gdyby negacje obu rozłączeń były prawdziwe [tj. ∼ (p ∨ q) ≡ (∼p · ∼q)]. Ta obserwacja semantyczna prowadzi do zasady, że negacja rozłączenia staje się jedną gałęzią zawierającą negację każdego rozłączenia:

Rozważ następujący argument:

Pisać:

Teraz wykreśl rozłączenie i utwórz dwie gałęzie:

Tylko wtedy, gdy wszystkie zdania w co najmniej jednej gałęzi są prawdziwe, możliwe jest, że oryginalne przesłanki są prawdziwe, a wniosek fałszywy (równoważnie w przypadku negacji wniosku). Śledząc linię w górę w każdej gałęzi do szczytu drzewa, można zauważyć, że brak wyceny w lewej gałęzi nie spowoduje, że wszystkie zdania w tej gałęzi otrzymają wartość true (z powodu obecności a i ∼a). Podobnie, w prawej gałęzi obecność b i ∼b uniemożliwia wycenie, aby wszystkie zdania gałęzi otrzymały wartość true. To są wszystkie możliwe gałęzie; dlatego nie można znaleźć sytuacji, w której przesłanki są prawdziwe, a wniosek fałszywy. Oryginalny argument jest zatem ważny.

Technikę tę można rozszerzyć na inne łączniki:

Ponadto w LPC należy wprowadzić zasady tworzenia wystąpień skwantyfikowanych WFF. Oczywiście każda gałąź zawierająca zarówno (∀x) ϕx, jak i ∼ϕy jest tą, w której nie wszystkie zdania w tej gałęzi mogą być jednocześnie spełnione (przy założeniu zgodności ω; patrz metalogiczna). Ponownie, jeśli wszystkie gałęzie nie są jednocześnie satysfakcjonujące, oryginalny argument jest poprawny.

Specjalne systemy LPC

LPC, jak wyjaśniono powyżej, można modyfikować, ograniczając lub rozszerzając zakres wffs na różne sposoby:

• 1. Częściowe systemy LPC. Oto niektóre z ważniejszych systemów wytwarzanych przez ograniczenie:

  • a. Może być wymagane, aby każda zmienna predykatu była monadyczna, jednocześnie dopuszczając nieskończoną liczbę zmiennych indywidualnych i predykatów. Wffs atomowe to po prostu te składające się ze zmiennej predykatowej, po której następuje pojedyncza zmienna pojedyncza. W przeciwnym razie reguły formacji pozostaną takie same jak wcześniej, a definicja ważności jest również taka jak poprzednio, choć w oczywisty sposób uproszczona. Ten system jest znany jako monadyczny LPC; zapewnia logikę właściwości, ale nie relacji. Jedną ważną cechą tego systemu jest to, że jest on rozstrzygalny. (Wprowadzenie nawet pojedynczej zmiennej predykatowej powoduje, że system jest nierozstrzygalny, aw rzeczywistości nawet system zawierający tylko jedną zmienną predykatową i żadne inne zmienne predykcyjne wcale nie są nierozstrzygalne).

  • b Jeszcze prostszy system można utworzyć, wymagając (1), aby każda zmienna predykatu była monadyczna, (2), aby używana była tylko jedna pojedyncza zmienna (np. x), (3), aby każde wystąpienie tej zmiennej było powiązane, i (4) że żaden kwantyfikator nie występuje w żadnym innym zakresie. Przykładami wffs tego systemu są (∀x) [ϕx ⊃ (ψx · χx)] („Cokolwiek jest ϕ, jest jednocześnie ψ i χ”); (∃x) (ϕx · ∼ψx) („Jest coś, co jest ϕ, ale nie ψ”); i (∀x) (ϕx ⊃ ψx) ⊃ (∃x) (ϕx · ψx) („Jeśli cokolwiek jest ϕ to ψ, to coś jest jednocześnie ϕ i ψ”). Notację dla tego systemu można uprościć, pomijając wszędzie x i pisząc ∃ϕ dla „Coś jest ϕ”, ∀ (ϕ ⊃ for) dla „Cokolwiek to jest ϕ jest ψ” i tak dalej. Chociaż ten system jest bardziej szczątkowy niż monadyczny LPC (którego jest fragmentem), można w nim reprezentować formy szerokiego zakresu wnioskowania. Jest to również system rozstrzygalny i można mu podać podstawowe procedury decyzyjne.

• 2. Rozszerzenia LPC. Bardziej rozbudowane systemy, w których można wyrazić szerszy zakres zdań, zostały skonstruowane poprzez dodanie do LPC nowych symboli różnych typów. Najprostsze z takich dodatków to:

  • a. jedna lub więcej indywidualnych stałych (powiedzmy a, b,

    ): stałe te są interpretowane jako nazwy konkretnych osób; formalnie różnią się one od poszczególnych zmiennych tym, że nie mogą wystąpić w kwantyfikatorach; np. (∀x) jest kwantyfikatorem, ale (∀a) nie jest.

  • b. jedna lub więcej stałych predykatów (powiedzmy A, B,

    ), każdy z określonego stopnia, uważany za wyznaczający określone właściwości lub relacje.

Kolejny możliwy dodatek, który wymaga nieco pełniejszego wyjaśnienia, składa się z symboli zaprojektowanych jako oznaczające funkcje. Pojęcie funkcji można wystarczająco wyjaśnić dla obecnych celów w następujący sposób. Mówi się, że istnieje pewna funkcja n argumentów (lub stopnia n), gdy istnieje reguła określająca unikalny obiekt (zwany wartością funkcji), ilekroć wszystkie argumenty są określone. Na przykład w domenie ludzkiej „matka -” jest funkcją monadyczną (funkcja jednego argumentu), ponieważ dla każdego człowieka istnieje wyjątkowa jednostka, która jest jego matką; oraz w dziedzinie liczb naturalnych (tj. 0, 1, 2,

), „Suma - i -” jest funkcją dwóch argumentów, ponieważ dla każdej pary liczb naturalnych istnieje liczba naturalna, która jest ich sumą. Symbol funkcji można traktować jako formujący nazwę z innych nazw (jej argumentów); w związku z tym, ilekroć nazwy xiy nazywają liczby, „suma xiy” także określa liczbę, i podobnie w przypadku innych rodzajów funkcji i argumentów.

Aby umożliwić wyrażanie funkcji w LPC, można dodać:

• c. jedna lub więcej zmiennych funkcyjnych (powiedzmy f, g,

  ) lub co najmniej jedna stała funkcji (powiedzmy F, G,

  ) lub oba, każdy z określonego stopnia. Pierwsze z nich są interpretowane jako obejmujące funkcje określonych stopni, a drugie jako wyznaczające określone funkcje tego stopnia.

Gdy do LPC zostanie dodany dowolny lub wszystkie litery a – c, reguły modyfikacji wymienione w pierwszym akapicie tego rozdziału niższego rachunku predykatów (patrz wyżej Rachunek niższych predykatów) muszą zostać zmodyfikowane, aby umożliwić włączenie nowych symboli do wffs. Można to zrobić w następujący sposób: Termin jest najpierw definiowany jako (1) pojedyncza zmienna lub (2) indywidualna stała lub (3) dowolne wyrażenie utworzone przez poprzedzenie zmiennej funkcyjnej lub stałej funkcji stopnia n dowolnym n terminom (terminy te - argumenty symbolu funkcji - są zwykle oddzielone przecinkami i ujęte w nawiasy). Reguła formacji 1 zostaje następnie zastąpiona przez:

• 1 '. Wyrażenie składające się ze zmiennej predykatu lub stałej predykatu stopnia n, po których następuje n terminów, to wff.

Podstawa aksjomatyczna podana w części dotyczącej aksjatyzacji LPC (patrz powyżej Aksjomatyzacja LPC) wymaga również następującej modyfikacji: w schemacie aksjomatycznym 2 dowolny termin może zastąpić czas, gdy powstaje β, pod warunkiem, że żadna zmienna, która jest wolna w termin wiąże się w β. Poniższe przykłady zilustrują użycie wyżej wymienionych dodatków do LPC: niech wartości poszczególnych zmiennych będą liczbami naturalnymi; niech poszczególne stałe aib oznaczają odpowiednio liczby 2 i 3; niech A oznacza „jest liczbą pierwszą”; i niech F reprezentuje funkcję dyadyczną „sumę”. Następnie AF (a, b) wyraża twierdzenie „Suma 2 i 3 jest liczbą pierwszą”, a (∃x) AF (x, a) wyraża zdanie „Istnieje liczba taka, że ​​suma jej i 2 jest liczbą pierwszą. ”

Wprowadzeniu stałych zwykle towarzyszy dodanie do podstawy aksjomatycznej specjalnych aksjomatów zawierających te stałe, zaprojektowane w celu wyrażenia zasad, które przechowują reprezentowane przez nie obiekty, właściwości, relacje lub funkcje - chociaż nie przechowują obiektów, właściwości, relacje lub funkcje w ogóle. Można na przykład zdecydować, aby użyć stałej A do przedstawienia relacji dyadycznej „jest większa niż” (tak, że Axy ma oznaczać, że „x jest większy niż y” itd.). Relacja ta, w przeciwieństwie do wielu innych, jest przechodnia; tzn. jeśli jeden obiekt jest większy niż drugi, a ten drugi jest z kolei większy niż trzeci, to pierwszy jest większy niż trzeci. Dlatego można dodać następujący specjalny schemat aksjomatyczny: jeśli t ₁, t ₂ i t ₃ są dowolnymi terminami, wówczas (At ₁ t ₂ · At ₂ t ₃) ⊃ At ₁ t ₃ jest aksjomatem. W ten sposób można konstruować systemy do wyrażania logicznych struktur różnych poszczególnych dyscyplin. Obszarem, w którym wykonano większość tego rodzaju prac, jest arytmetyka liczb naturalnych.

PC i LPC są czasem łączone w jeden system. Można to zrobić najprościej, dodając zmienne zdań do listy prymitywów LPC, dodając regułę formacji do skutku, że stojąca sama zmienna zdania jest wff, i usuwając „LPC” w schemacie aksjomatycznym 1. Daje to wffs takie wyrażenia jako (p ∨ q) ⊃ (∀x) ϕx i (∃x) [p ⊃ (∀y) ϕxy].

• 3.LPC-z-tożsamością. Słowo „jest” nie zawsze jest używane w ten sam sposób. W zdaniu takim jak (1) „Sokrates jest zlekceważony”, wyrażenie poprzedzające „jest” nazywa jednostkę, a wyrażenie następujące po niej oznacza właściwość przypisaną tej osobie. Ale w zdaniu takim jak (2) „Sokrates jest ateńskim filozofem, który pił piołun”, wyrażenia poprzedzające i następujące po „jest” oba nazywają osoby, a sens całego zdania jest taki, że osoba nazwana przez pierwszego jest ta sama osoba, jak osoba nazwana przez drugiego. Zatem w 2 „jest” można rozszerzyć na „to ta sama osoba, co”, podczas gdy w 1 nie. Jak użyto w 2, „jest” oznacza relację dyadyczną - mianowicie tożsamość - którą twierdzenie utrzymuje między dwiema jednostkami. Propozycję tożsamości należy w tym kontekście rozumieć jako twierdzenie nie więcej niż to; w szczególności nie należy uważać, że oba wyrażenia nazewnicze mają to samo znaczenie. Często dyskutowanym przykładem ilustrującym ten ostatni punkt jest „Gwiazda poranna jest gwiazdą wieczorną”. To nieprawda, że ​​wyrażenia „gwiazda poranna” i „gwiazda wieczorna” oznaczają to samo, ale prawdą jest, że obiekt, do którego odnosi się ten pierwszy, jest taki sam, jak ten drugi (planeta Wenus).

Aby umożliwić wyrażanie form zdań tożsamościowych, do LPC dodawana jest dyadyczna stała predykatu, dla której najczęściej stosowaną notacją jest = (zapisywane pomiędzy, a nie przed jej argumentami). Zamierzona interpretacja x = y jest taka, że ​​x jest tą samą osobą co y, a najwygodniejszym odczytem jest „x jest identyczne z y”. Jego negacja ∼ (x = y) jest często skracana jako x ≠ y. Do definicji modelu LPC podanej wcześniej (patrz powyżej Ważność w LPC) dodano teraz zasadę (która w oczywisty sposób zgadza się z zamierzoną interpretacją), że wartość x = y ma wynosić 1, jeśli ten sam element D jest przypisane zarówno do x, jak i y, w przeciwnym razie jego wartość ma wynosić 0; ważność można następnie zdefiniować jak poprzednio. Następujące uzupełnienia (lub niektóre równoważne) zostały wprowadzone do podstawy aksjomatycznej dla LPC: aksjomat x = x i schemat aksjomat, że gdzie a i b są dowolnymi zmiennymi pojedynczymi, a α i β są wffs, które różnią się tylko tym, że w jedno lub więcej miejsc, w których α ma wolne występowanie a, β ma wolne występowanie b, (a = b) ⊃ (α ⊃ β) jest aksjomatem. Taki system jest znany jako rachunek różniczkowy-predykat-z-tożsamością; można go oczywiście rozszerzyć na inne sposoby, o których mowa powyżej w „Rozszerzeniach LPC”, w którym to przypadku dowolny termin może być argumentem =.

Tożsamość jest relacją równoważności; tzn. jest refleksyjny, symetryczny i przechodni. Jego zwrotność jest wyrażona bezpośrednio w aksjomacie x = x, a twierdzenia wyrażające jego symetrię i przechodniość można łatwo wyprowadzić z podanej podstawy.

Niektóre wątki LPC-z-tożsamością wyrażają twierdzenia o liczbie rzeczy posiadających daną właściwość. „Co najmniej jedną rzeczą jest ϕ” można już oczywiście wyrazić za pomocą (∃x) ϕx; „Co najmniej dwie różne (nieidentyczne) rzeczy to ϕ” można teraz wyrazić za pomocą (∃x) (∃y) (ϕx · ϕy · x ≠ y); i sekwencja może być kontynuowana w oczywisty sposób. „Co najwyżej jedna rzecz to ϕ” (tzn. „Żadne dwie odrębne rzeczy nie są oba ϕ”) można wyrazić przez negację ostatnio wymienionego wff lub przez jego odpowiednik, (∀x) (∀y) [(ϕx · ϕy) ⊃ x = y], a sekwencję można ponownie łatwo kontynuować. Wzór na „Dokładnie jedną rzeczą jest ϕ” można uzyskać łącząc formuły dla „Co najmniej jednej rzeczy jest ϕ” i „Co najwyżej jednej rzeczy jest ϕ”, ale prostszym wff odpowiednikiem tej koniunkcji jest (∃x) [·x · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)], co oznacza „Istnieje coś, co jest ϕ, a wszystko, co jest ϕ, to jest to.” Twierdzenie „Dokładnie dwie rzeczy są ϕ” może być reprezentowane przez (∃x) (∃y) {ϕx · ϕy · x ≠ y · (∀z) [ϕz ⊃ (z = x ∨ z = y)]}; tzn. „Istnieją dwie nieidentyczne rzeczy, z których każda to ϕ, a wszystko, co jest ϕ, jest jedną z nich.” Oczywiście, sekwencję tę można również rozszerzyć, aby uzyskać wzór na „Dokładnie n rzeczy to ϕ” dla każdej liczby naturalnej n. Wygodne jest skrócenie wff dla „Dokładnie jedna rzecz to ϕ” do (∃! X) ϕx. Ten specjalny kwantyfikator jest często odczytywany na głos jako „E-Shriek x”.

Określone opisy

Gdy pewna właściwość ϕ należy do jednego i tylko jednego obiektu, wygodnie jest mieć wyrażenie, które nazywa ten obiekt. Popularną notacją w tym celu jest (ιx) ϕx, którą można odczytać jako „rzecz, która jest ϕ” lub w skrócie jako „the”. Zasadniczo, gdzie a jest dowolną zmienną pojedynczą, a α jest dowolnym wff, (ιa) α oznacza wówczas pojedynczą wartość a, która sprawia, że ​​α jest prawdziwe. Wyrażenie formy „taki a taki” nazywa się definitywnym opisem; i (ιx), znany jako operator opisu, można uznać za formowanie imienia osoby z formy propozycji. (ιx) jest analogiczny do kwantyfikatora w tym sensie, że gdy jest poprzedzony wff α, wiąże każde wolne wystąpienie x w α. Dopuszczalne jest również ponowne wpisywanie zmiennych powiązanych; w najprostszym przypadku (ιx) ϕx i (ιy) ϕy można odczytać po prostu jako „ϕ”.

Jeśli chodzi o reguły formacji, do LPC można włączyć określone opisy, pozwalając, aby wyrażenia formy (a) α były liczone jako terminy; reguła 1 'powyżej, w „Rozszerzeniach LPC”, pozwoli im wtedy na występowanie w formułach atomowych (w tym formułach tożsamości). „Φ jest (tzn. Ma właściwość) ψ” można następnie wyrazić jako ψ (ιx) ϕx; „Y jest (ta sama osoba, co) ϕ” jako y = (ιx) ϕx; „Φ to (ta sama osoba, co) ψ” jako (ιx) ϕx = (ιy) ψy; i tak dalej.

Prawidłowa analiza zdań zawierających określone opisy była przedmiotem poważnych kontrowersji filozoficznych. Jednak jedno szeroko akceptowane konto - zasadniczo przedstawione w Principia Mathematica i znane jako teoria opisów Russella - utrzymuje, że „ϕ jest ψ” należy rozumieć jako oznaczające, że dokładnie jedna rzecz jest ϕ i ta rzecz również jest ψ. W takim przypadku może to być wyrażone przez wff LPC-z-tożsamością, która nie zawiera operatorów opisu - mianowicie (1) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Analogicznie, „y jest ϕ” jest analizowane jako „y jest ϕ i nic innego nie jest ϕ”, a zatem tak wyraziste przez (2) ϕy · (∀x) (ϕx ⊃ x = y). „Φ to ψ” jest analizowane jako „Dokładnie jedna rzecz to ϕ, dokładnie jedna rzecz to ψ, a cokolwiek to jest ϕ to ψ”, a zatem tak wyraziste przez (3) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y)] · (∃x) [ψx · (∀y) (ψy ⊃ x = y)] · (∀x) (ϕx ⊃ ψx). ψ (ιx) ϕx, y = (ιx) ϕx i (ιx) ϕx = (ιy) ψy można następnie uznać za skróty odpowiednio dla (1), (2) i (3); a uogólniając na bardziej złożone przypadki, wszystkie wffs zawierające operatory opisu mogą być traktowane jako skróty dla dłuższych wffs, które tego nie robią.

Analiza, która prowadzi do (1) jako wzoru na „The ϕ is ψ” prowadzi do tego, że „The ϕ is not ψ”: (4) (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ∼ψx]. Należy zauważyć, że (4) nie jest zaprzeczeniem (1); ta negacja to zamiast tego (5) ∼ (∃x) [ϕx · (∀y) (ϕy ⊃ x = y) · ψx]. Różnica w znaczeniu między (4) i (5) polega na tym, że (4) jest prawdziwe tylko wtedy, gdy jest dokładnie jedna rzecz, która jest ϕ, a ta rzecz nie jest ψ, ale (5) jest prawdą zarówno w tym przypadku, jak i także wtedy, gdy nic nie jest ϕ i gdy więcej niż jedna rzecz jest ϕ. Zlekceważenie rozróżnienia między (4) i (5) może spowodować poważne pomieszanie myśli; w zwykłej mowie często nie jest jasne, czy ktoś, kto zaprzecza, że ​​„jest”, przyznaje, że dokładnie jedna rzecz jest ϕ, ale zaprzecza, że ​​tak jest ψ, lub zaprzecza, że ​​dokładnie jedna rzecz jest ϕ.

Podstawowym twierdzeniem teorii opisów Russella jest to, że twierdzenia zawierającego określony opis nie należy uważać za twierdzenie o przedmiocie, którego opis ten jest nazwą, ale raczej za egzystencjalnie skwantyfikowane twierdzenie, że pewna (raczej złożona) właściwość ma instancja. Formalnie znajduje to odzwierciedlenie w zasadach eliminacji operatorów opisu, które zostały przedstawione powyżej.