Problem Sturma-Liouville'a lub problem wartości własnych w matematyce pewna klasa równań różniczkowych cząstkowych (PDE) podlegająca dodatkowym ograniczeniom, zwanym wartościami granicznymi, dla rozwiązań. Takie równania są powszechne zarówno w fizyce klasycznej (np. Przewodnictwo cieplne), jak i mechanice kwantowej (np. Równanie Schrödingera) w celu opisania procesów, w których pewna wartość zewnętrzna (wartość graniczna) jest utrzymywana na stałym poziomie, podczas gdy układ będący przedmiotem zainteresowania przesyła jakąś formę energii.
W połowie lat trzydziestych XIX wieku francuscy matematycy Charles-François Sturm i Joseph Liouville niezależnie pracowali nad problemem przewodzenia ciepła przez metalowy pręt, w procesie opracowywania technik rozwiązywania dużej klasy PDE, z których najprostszy przybiera formę [p (x) y ′] ′ + [q (x) - λr (x)] y = 0 gdzie y jest pewną wielkością fizyczną (lub kwantową funkcją fali mechanicznej), a λ jest parametrem lub wartością własną, która ogranicza równanie, więc że y spełnia wartości graniczne w punktach końcowych przedziału, w którym mieści się zmienna x. Jeśli funkcje p, q i r spełniają odpowiednie warunki, równanie będzie miało rodzinę rozwiązań, zwanych funkcjami własnymi, odpowiadającymi rozwiązaniom wartości własnych.
W przypadku bardziej skomplikowanego niejednorodnego przypadku, w którym prawa strona powyższego równania jest funkcją, f (x), a nie zero, wartości własne odpowiadającego równania jednorodnego można porównać z wartościami własnymi pierwotnego równania. Jeśli te wartości są różne, problem będzie miał unikalne rozwiązanie. Z drugiej strony, jeśli jedna z tych wartości własnych będzie pasować, problem nie będzie miał rozwiązania lub całej rodziny rozwiązań, w zależności od właściwości funkcji f (x).
