Równanie różniczkowe, oświadczenie matematyczne zawierające jeden lub więcej pochodnych - to znaczy terminy reprezentujące tempo zmian ciągle zmieniających się wielkości. Równania różniczkowe są bardzo powszechne w nauce i inżynierii, a także w wielu innych dziedzinach badań ilościowych, ponieważ to, co można bezpośrednio zaobserwować i zmierzyć dla zmieniających się układów, to ich szybkość zmian. Rozwiązaniem równania różniczkowego jest na ogół równanie wyrażające zależność funkcjonalną jednej zmiennej od jednej lub więcej innych; zwykle zawiera stałe warunki, które nie występują w pierwotnym równaniu różniczkowym. Innym sposobem powiedzenia tego jest to, że rozwiązanie równania różniczkowego daje funkcję, która może być użyta do przewidywania zachowania oryginalnego układu, przynajmniej w ramach określonych ograniczeń.
analiza: równania Newtona i różniczkowe
zastosowanie analizy stanowią równania różniczkowe, które wiążą szybkość zmian różnych wielkości z ich aktualnymi wartościami,
Równania różniczkowe są podzielone na kilka szerokich kategorii, które z kolei są dalej podzielone na wiele podkategorii. Najważniejsze kategorie to równania różniczkowe zwyczajne i równania różniczkowe cząstkowe. Gdy funkcja biorąca udział w równaniu zależy tylko od jednej zmiennej, jej pochodne są zwykłymi pochodnymi, a równanie różniczkowe jest klasyfikowane jako zwykłe równanie różniczkowe. Z drugiej strony, jeśli funkcja zależy od kilku niezależnych zmiennych, tak że jej pochodne są pochodnymi cząstkowymi, równanie różniczkowe jest klasyfikowane jako równanie różniczkowe cząstkowe. Oto przykłady zwykłych równań różniczkowych:
W nich y oznacza funkcję, a t lub x jest zmienną niezależną. Symbole k i m są tutaj stosowane w celu oznaczenia określonych stałych.
Niezależnie od tego, jaki jest typ, mówi się, że równanie różniczkowe należy do n-tego rzędu, jeżeli obejmuje ono pochodną n-tego rzędu, ale nie pochodną wyższego rzędu. Równanie jest przykładem częściowego równania różniczkowego drugiego rzędu. Teorie równań różniczkowych zwyczajnych i cząstkowych są wyraźnie różne, dlatego te dwie kategorie są traktowane osobno.
Zamiast pojedynczego równania różniczkowego przedmiotem badań może być jednoczesny układ takich równań. Sformułowanie praw dynamiki często prowadzi do takich układów. W wielu przypadkach pojedyncze równanie różniczkowe n-tego rzędu jest korzystnie zastępowane układem równań n równoczesnych, z których każde jest pierwszego rzędu, dzięki czemu można zastosować techniki z algebry liniowej.
Zwykłe równanie różniczkowe, w którym na przykład funkcja i zmienna niezależna są oznaczone przez y i x, jest w rzeczywistości niejawnym podsumowaniem zasadniczych charakterystyk y jako funkcji x. Te cechy byłyby prawdopodobnie łatwiej dostępne do analizy, gdyby można było stworzyć wyraźny wzór na y. Taki wzór lub przynajmniej równanie xiy (bez pochodnych), które można wyprowadzić z równania różniczkowego, nazywa się rozwiązaniem równania różniczkowego. Proces dedukcji rozwiązania z równania przez zastosowanie algebry i rachunku różniczkowego nazywa się rozwiązywaniem lub całkowaniem równania. Należy jednak zauważyć, że równania różniczkowe, które można jednoznacznie rozwiązać, stanowią niewielką mniejszość. Dlatego większość funkcji należy badać metodami pośrednimi. Nawet jego istnienie należy udowodnić, gdy nie ma możliwości przedstawienia go do kontroli. W praktyce stosuje się metody analizy numerycznej, obejmujące komputery, w celu uzyskania użytecznych przybliżonych rozwiązań.
