Metalogiczny

Logika i metalogia

W pewnym sensie logikę należy identyfikować za pomocą rachunku predykatu pierwszego rzędu, rachunku, w którym zmienne ograniczają się do jednostek z ustalonej dziedziny - choć może również obejmować logikę tożsamości, symbolizowaną „=”, która bierze zwykłe właściwości tożsamości jako część logiki. W tym sensie Gottlob Frege osiągnął formalny rachunek logiczny już w 1879 roku. Czasami logika jest interpretowana jako obejmująca również predykaty wyższego rzędu, które dopuszczają zmienne wyższych typów, takie jak zmienne o predykatach (lub klasach i relacjach) i tak dalej. Ale wtedy jest to mały krok do włączenia teorii zbiorów, a aksjomatyczna teoria zbiorów jest często uważana za część logiki. Jednak dla celów tego artykułu bardziej odpowiednie jest ograniczenie dyskusji do logiki w pierwszym tego słowa znaczeniu.

Trudno oddzielić znaczące ustalenia w logice od tych w metalogii, ponieważ wszystkie twierdzenia interesujące logików dotyczą logiki i dlatego należą do metalogii. Jeśli p jest twierdzeniem matematycznym - w szczególności o logice - a P jest koniunkcją matematycznych aksjomatów zastosowanych do udowodnienia p, to każde p można przekształcić w twierdzenie „albo nie-P albo p” w logice. Matematyki nie dokonuje się jednak, wykonując jawnie wszystkie kroki sformalizowane w logice; wybór i intuicyjne zrozumienie aksjomatów jest ważne zarówno dla matematyki, jak i dla metamatematyki. Rzeczywiste pochodne logiczne, takie jak te dokonane tuż przed I wojną światową przez Alfreda Northa Whiteheada i Bertranda Russella, są mało interesujące dla logików. Dlatego wprowadzenie terminu metalogiczny może wydawać się zbędne. Jednak w niniejszej klasyfikacji metalogika jest rozumiana jako zajmująca się nie tylko ustaleniami dotyczącymi rachunku logicznego, ale także badaniami systemów formalnych i ogólnie języków formalnych.

Zwykły system formalny różni się od rachunku logicznego tym, że system zwykle ma zamierzoną interpretację, podczas gdy rachunek logiczny celowo pozostawia możliwe interpretacje otwarte. Tak więc mówi się na przykład o prawdzie lub fałszu zdań w systemie formalnym, ale w odniesieniu do rachunku logicznego mówi się o ważności (tj. Byciu prawdziwym we wszystkich interpretacjach lub we wszystkich możliwych światach) i o satysfakcji (lub posiadanie modelu - tj. bycie prawdziwym w określonej interpretacji). Zatem kompletność rachunku logicznego ma zupełnie inne znaczenie niż system formalny: rachunek logiczny dopuszcza wiele zdań, tak że ani zdanie, ani jego negacja nie jest twierdzeniem, ponieważ jest prawdziwe w niektórych interpretacjach i fałszywe w innych, oraz wymaga tylko, aby każde ważne zdanie było twierdzeniem.