Arytmetyka

Arytmetyka, gałąź matematyki, w której liczby, relacje między liczbami i obserwacje liczb są badane i wykorzystywane do rozwiązywania problemów.

Arytmetyka (termin wywodzący się z greckiego słowa „arytmos”, „liczba”) odnosi się zasadniczo do elementarnych aspektów teorii liczb, sztuki pomiaru (pomiaru) i obliczeń numerycznych (to znaczy procesów dodawania, odejmowania, mnożenia, podział, podnoszenie do władzy i ekstrakcja korzeni). Jego znaczenie nie jest jednakowe w użyciu matematycznym. Wybitny niemiecki matematyk, Carl Friedrich Gauss, w Disquisitiones Arithmeticae (1801), oraz niektórzy współcześni matematycy używali tego terminu, aby uwzględnić bardziej zaawansowane tematy. Czytelnik zainteresowany tym ostatnim jest odsyłany do teorii numerów artykułów.

Podstawowe definicje i prawa

Liczby naturalne

W kolekcji (lub zestawie) obiektów (lub elementów) czynność określania liczby obecnych obiektów nazywa się zliczaniem. Otrzymane w ten sposób liczby nazywane są liczbami zliczającymi lub liczbami naturalnymi (1, 2, 3,

). W przypadku pustego zestawu żaden obiekt nie jest obecny, a liczba zwraca liczbę 0, która, dołączona do liczb naturalnych, tworzy tak zwane liczby całkowite.

Jeśli obiekty z dwóch zestawów można dopasować w taki sposób, że każdy element z każdego zestawu jest jednoznacznie sparowany z elementem z drugiego zestawu, zestawy są uważane za równe lub równoważne. Koncepcja zestawów równoważnych jest podstawowa dla podstaw współczesnej matematyki i została wprowadzona do szkolnictwa podstawowego, szczególnie w ramach „nowej matematyki” (patrz rysunek), która została naprzemiennie uznana i potępiona od czasu jej pojawienia się w latach 60. XX wieku. Zobacz teorię zbiorów.

Dodawanie i mnożenie

Łącząc ze sobą dwa zestawy obiektów, które zawierają elementy a i b, powstaje nowy zestaw, który zawiera obiekty + b = c. Liczba c nazywana jest sumą aib; a każdy z nich nazywa się summand. Operacja tworzenia sumy nazywana jest dodawaniem, symbol + jest odczytywany jako „plus”. Jest to najprostsza operacja binarna, gdzie binarny odnosi się do procesu łączenia dwóch obiektów.

Z definicji liczenia wynika, że ​​kolejność sum można zmienić, a kolejność operacji dodawania można zmienić, gdy zastosuje się ją do trzech sum, bez wpływu na sumę. Są one nazywane odpowiednio przemiennym prawem dodawania i asocjacyjnym prawem dodawania.

Jeśli istnieje liczba naturalna k taka, że ​​a = b + k, mówi się, że a jest większe niż b (zapisane a> b) i że b jest mniejsze niż a (zapisane b <a). Jeśli aib są dowolnymi dwiema liczbami naturalnymi, wówczas albo a = b, a> b albo a b (prawo trichotomii).

Z powyższych praw wynika, że ​​powtarzana suma, taka jak 5 + 5 + 5, jest niezależna od sposobu grupowania sum; można go zapisać 3 × 5. W ten sposób zdefiniowana jest druga operacja binarna zwana mnożeniem. Liczba 5 nazywana jest mnożnikiem; liczba 3, która oznacza liczbę sum, nazywana jest mnożnikiem; a wynik 3 × 5 nazywa się produktem. Symbol × tej operacji brzmi „razy”. Jeśli do oznaczenia liczb używane są takie litery jak aib, iloczyn a × b jest często zapisywany a ∙ b lub po prostu ab.

Jeśli zapisane są trzy rzędy po pięć kropek, jak pokazano poniżej, jasne jest, że całkowita liczba kropek w tablicy wynosi 3 × 5 lub 15. Tę samą liczbę kropek można oczywiście zapisać w pięciu rzędach po trzy kropki każda, skąd 5 × 3 = 15. Argument jest ogólny, prowadzący do prawa, że ​​kolejność mnożników nie wpływa na produkt, zwanego przemiennym prawem mnożenia. Warto jednak zauważyć, że to prawo nie dotyczy wszystkich bytów matematycznych. Rzeczywiście, na przykład wiele matematycznych sformułowań współczesnej fizyki zależy przede wszystkim od tego, że niektóre byty nie dojeżdżają do pracy.

Dzięki zastosowaniu trójwymiarowej tablicy kropek staje się oczywiste, że kolejność mnożenia przy zastosowaniu do trzech liczb nie wpływa na iloczyn. Takie prawo nazywa się prawem asocjacyjnym mnożenia. Jeśli 15 kropek opisanych powyżej jest podzielonych na dwa zestawy, jak pokazano, wtedy pierwszy zestaw składa się z trzech kolumn po trzy kropki każda lub 3 × 3 kropki; drugi zestaw składa się z dwóch kolumn po trzy kropki każda lub 2 × 3 kropki; suma (3 × 3) + (2 × 3) składa się z 3 + 2 = 5 kolumn po trzy kropki każda lub (3 + 2) × 3 kropki. Zasadniczo można udowodnić, że pomnożenie sumy przez liczbę jest takie samo jak suma dwóch odpowiednich produktów. Takie prawo nazywa się prawem podziału.

Liczby całkowite

Odejmowanie nie zostało wprowadzone z tego prostego powodu, że można je zdefiniować jako odwrotność dodawania. Zatem różnica a - b dwóch liczb a i b jest zdefiniowana jako rozwiązanie x równania b + x = a. Jeśli system liczbowy jest ograniczony do liczb naturalnych, różnice nie zawsze muszą istnieć, ale jeśli tak, to pięć podstawowych praw arytmetyki, jak już omówiono, można wykorzystać do udowodnienia, że ​​są one unikalne. Co więcej, zasady działania dodawania i mnożenia można rozszerzyć na różnice. Liczby całkowite (w tym zero) można rozszerzyć o rozwiązanie 1 + x = 0, to znaczy liczbę -1, a także wszystkie produkty w postaci -1 x n, w których n jest liczbą całkowitą. Rozszerzony zbiór liczb nazywa się liczbami całkowitymi, których dodatnie liczby całkowite są takie same jak liczby naturalne. Wprowadzane w ten sposób liczby nazywane są liczbami całkowitymi ujemnymi.