Hipoteza Continuum, stwierdzenie teorii zbiorów, że zbiór liczb rzeczywistych (kontinuum) jest w pewnym sensie tak mały, jak to tylko możliwe. W 1873 roku niemiecki matematyk Georg Cantor udowodnił, że kontinuum jest niepoliczalne - to znaczy liczby rzeczywiste są większą nieskończonością niż liczby zliczające - kluczowy wynik w rozpoczęciu teorii mnogości jako przedmiotu matematycznego. Co więcej, Cantor opracował sposób klasyfikowania rozmiaru zbiorów nieskończonych według liczby jego elementów lub liczności. (Patrz teoria mnogości: Liczby i liczby nieskończone). W tych terminach hipotezę kontinuum można określić następująco: Kardynalność kontinuum jest najmniejszą niepoliczalną liczbą kardynalną.
teoria mnogości: liczność i liczby nieskończone
hipoteza zwana hipotezą kontinuum.
W notacji Cantora hipotezę kontinuum można sformułować za pomocą prostego równania 2 ℵ 0 = ℵ 1, gdzie ℵ 0 jest liczbą kardynalną nieskończonego zbioru policzalnego (takiego jak zbiór liczb naturalnych) i liczbami większymi „ dobrze uporządkowane zestawy ”to ℵ 1, ℵ 2,
, ℵ α,
, indeksowane według liczb porządkowych. Liczność kontinuum może być równa 2 × 0; w związku z tym hipoteza kontinuum wyklucza istnienie zestawu wielkości pośrednich między liczbami naturalnymi a kontinuum.
Silniejszym stwierdzeniem jest uogólniona hipoteza kontinuum (GCH): 2 ℵ α = ℵ α + 1 dla każdej liczby porządkowej α. Polski matematyk Wacław Sierpiński udowodnił, że z GCH można uzyskać aksjomat wyboru.
Podobnie jak w przypadku wybranego aksjomatu, urodzony w Austrii amerykański matematyk Kurt Gödel udowodnił w 1939 r., Że jeśli inne standardowe aksjomaty Zermelo-Fraenkela (ZF; patrz:
tabela) są spójne, to nie obalają hipotezy kontinuum, a nawet GCH. Oznacza to, że wynik dodania GCH do innych aksjomatów pozostaje spójny. Następnie w 1963 r. Amerykański matematyk Paul Cohen dokończył obraz, ponownie wykazując, przy założeniu, że ZF jest spójny, że ZF nie daje dowodów na hipotezę kontinuum.
Ponieważ ZF nie dowodzi ani nie obala hipotezy kontinuum, pozostaje pytanie, czy przyjąć hipotezę kontinuum opartą na nieformalnej koncepcji tego, czym są zbiory. Ogólna odpowiedź w środowisku matematycznym była przecząca: hipoteza kontinuum jest stwierdzeniem ograniczającym w kontekście, w którym nie ma znanego powodu narzucenia limitu. W teorii zbiorów operacja zestawu mocy przypisuje każdemu zestawowi liczności ℵ α swój zbiór wszystkich podzbiorów, który ma liczność 2 ℵ α. Wydaje się, że nie ma powodu narzucać ograniczenia różnorodności podzbiorów, które może mieć zestaw nieskończony.
