Funkcja zeta Riemanna, funkcja przydatna w teorii liczb do badania właściwości liczb pierwszych. Zapisany jako ζ (x), pierwotnie był zdefiniowany jako nieskończona seriaζ (x) = 1 + 2 −x + 3 −x + 4 xx + ⋯. Gdy x = 1, szereg ten nazywany jest szeregiem harmonicznym, który rośnie bez ograniczeń - tzn. Jego suma jest nieskończona. Dla wartości x większych niż 1, szereg jest zbieżny do skończonej liczby w miarę dodawania kolejnych wyrazów. Jeśli x jest mniejsze niż 1, suma jest ponownie nieskończona. Funkcja zeta była znana szwajcarskiemu matematykowi Leonhardowi Eulerowi w 1737 r., Ale po raz pierwszy została gruntownie zbadana przez niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna.
W 1859 r. Riemann opublikował artykuł podający wyraźną formułę liczby liczb pierwszych do dowolnego z góry wyznaczonego limitu - zdecydowana poprawa w stosunku do przybliżonej wartości podanej przez twierdzenie o liczbie pierwszej. Jednak wzór Riemanna zależał od znajomości wartości, przy których uogólniona wersja funkcji zeta jest równa zero. (Funkcja zeta Riemanna jest zdefiniowana dla wszystkich liczb zespolonych - liczb w postaci x + iy, gdzie i = Pierwiastek kwadratowy z √ - 1 - z wyjątkiem linii x = 1.) Riemann wiedział, że funkcja jest równa zero dla wszystkich liczb parzystych ujemnych liczby całkowite -2, -4, -6,
(tak zwane trywialne zera) i że ma nieskończoną liczbę zer w krytycznym pasku liczb zespolonych między liniami x = 0 i x = 1, a także wiedział, że wszystkie nietrywialne zera są symetryczne względem krytycznych linia x = 1 / 2. Riemann przypuszczał, że wszystkie nietrywialne zera znajdują się na linii krytycznej, hipoteza, która później stała się znana jako hipoteza Riemanna.
W 1900 r. Niemiecki matematyk David Hilbert nazwał hipotezę Riemanna jednym z najważniejszych pytań w całej matematyce, na co wskazuje jej włączenie do jego wpływowej listy 23 nierozwiązanych problemów, z którymi rzucił wyzwanie matematykom XX wieku. W 1915 r. Angielski matematyk Godfrey Hardy udowodnił, że na linii krytycznej pojawia się nieskończona liczba zer, a do 1986 r. Wykazano, że pierwsze 1 500 000 0001 nietrywialnych zer znajduje się na linii krytycznej. Chociaż hipoteza może się jeszcze okazać fałszywa, badania tego trudnego problemu wzbogaciły zrozumienie liczb zespolonych.
