Historia analizy
Grecy napotykają ciągłe wielkości
Analiza składa się z tych części matematyki, w których ważna jest ciągła zmiana. Obejmują one badanie ruchu i geometrii gładkich krzywych i powierzchni - w szczególności obliczanie stycznych, powierzchni i objętości. Starożytni greccy matematycy dokonali wielkiego postępu zarówno w teorii, jak i praktyce analizy. Narzucono im teorię około 500 pne przez pitagorejskie odkrycie irracjonalnych wielkości i około 450 pne przez paradoksy ruchu Zenona.
Pitagorejczycy i liczby nieracjonalne
Początkowo pitagorejczycy wierzyli, że wszystkie rzeczy można zmierzyć za pomocą dyskretnych liczb naturalnych (1, 2, 3,
) i ich stosunki (ułamki zwykłe lub liczby wymierne). Przekonanie to zostało jednak wstrząśnięte odkryciem, że przekątna kwadratu jednostkowego (to znaczy kwadratu, którego boki mają długość 1), nie może być wyrażona jako liczba wymierna. Odkrycia tego dokonało ich własne twierdzenie Pitagorasa, w którym ustalono, że kwadrat na przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego jest równy sumie kwadratów po dwóch pozostałych stronach - we współczesnej notacji c 2 = a 2 + b 2. W kwadracie jednostkowym przekątna jest przeciwprostokątną prawego trójkąta o bokach a = b = 1; stąd jego miarą jest Pierwiastek kwadratowy z —2 - liczba niewymierna. Wbrew własnym zamiarom pitagorejczycy wykazali w ten sposób, że liczby wymierne nie wystarczają do pomiaru nawet prostych obiektów geometrycznych. (Patrz Pasek boczny: Niewspółmierne). Ich reakcją było stworzenie arytmetyki odcinków linii, jak stwierdzono w Księdze II Elementów Euclida (ok. 300 pne), która obejmowała geometryczną interpretację liczb wymiernych. Dla Greków odcinki linii były bardziej ogólne niż liczby, ponieważ obejmowały zarówno ciągłe, jak i dyskretne wielkości.
Rzeczywiście, pierwiastek kwadratowy z √2 może być powiązany z liczbami wymiernymi tylko poprzez nieskończony proces. Zostało to zrealizowane przez Euclida, który badał arytmetykę zarówno liczb wymiernych, jak i segmentów linii. Jego słynny algorytm euklidesowy, zastosowany do pary liczb naturalnych, prowadzi skończoną liczbę kroków do ich największego wspólnego dzielnika. Jednak po zastosowaniu do pary segmentów linii o nieracjonalnym stosunku, takich jak pierwiastek kwadratowy z 2 i 1, nie kończy się. Euclid wykorzystał nawet tę właściwość nieterminacji jako kryterium irracjonalności. Zatem irracjonalność podważyła grecką koncepcję liczby, zmuszając ich do radzenia sobie z nieskończonymi procesami.
Paradoksy Zenona i pojęcie ruchu
Podobnie jak pierwiastek kwadratowy z 2 był wyzwaniem dla greckiej koncepcji liczby, paradoksy Zenona stanowiły wyzwanie dla ich koncepcji ruchu. W swojej fizyce (ok. 350 pne) Arystoteles zacytował Zenona, mówiąc:
Nie ma ruchu, ponieważ to, co się porusza, musi dotrzeć na środek [kursu], zanim dotrze na koniec.
Argumenty Zenona są znane tylko przez Arystotelesa, który zacytował je głównie w celu ich obalenia. Przypuszczalnie Zeno miał na myśli, że aby dostać się gdziekolwiek, trzeba najpierw przejść w połowie drogi, a przed tą jedną czwartą drogi, a przed tą jedną ósmą drogi i tak dalej. Ponieważ ten proces zmniejszania o połowę odległości trwałby do nieskończoności (koncepcja, której Grecy nie zaakceptowaliby jak to możliwe), Zeno twierdził, że „udowodnił”, że rzeczywistość składa się z niezmiennej istoty. Mimo to, nienawidząc nieskończoności, Grecy stwierdzili, że koncepcja ta była niezbędna w matematyce ciągłych wielkości. Rozumowali więc nieskończoność tak precyzyjnie, jak to możliwe, w logicznym układzie zwanym teorią proporcji i stosując metodę wyczerpania.
Teoria proporcji została stworzona przez Eudoxusa około 350 lat pne i zachowana w Księdze V Elementów Euklidesa. Ustalono dokładną zależność między wielkościami wymiernymi a wielkościami arbitralnymi, definiując dwie wielkości, które mają być równe, jeżeli racjonalne wielkości mniejsze od nich byłyby takie same. Innymi słowy, dwie wielkości były różne tylko wtedy, gdy istniała między nimi racjonalna wielkość. Ta definicja służyła matematykom przez dwa tysiąclecia i utorowała drogę do arytmetyki analizy w XIX wieku, w której liczby arbitralne zostały rygorystycznie określone w kategoriach liczb wymiernych. Teoria proporcji była pierwszym rygorystycznym podejściem do koncepcji granic, ideą leżącą u podstaw współczesnej analizy. We współczesnych terminach teoria Eudoxusa definiowała dowolne wielkości jako granice racjonalnych wielkości, a podstawowe twierdzenia o sumie, różnicy i iloczynie wielkości były równoważne twierdzeniom o sumie, różnicy i iloczynie granic.
