Teoria kategorii
Abstrakcja w matematyce
Jedną z ostatnich tendencji w rozwoju matematyki był stopniowy proces abstrakcji. Norweski matematyk Niels Henrik Abel (1802–18) udowodnił, że równania piątego stopnia nie mogą być na ogół rozwiązane przez radykałów. Francuski matematyk Évariste Galois (1811–32), motywowany częściowo pracą Abla, wprowadził pewne grupy permutacji, aby określić warunki konieczne do rozwiązania równania wielomianowego. Te konkretne grupy wkrótce dały początek grupom abstrakcyjnym, które zostały opisane aksjomatycznie. Potem zdano sobie sprawę, że do badania grup konieczne było przyjrzenie się relacjom między różnymi grupami - w szczególności homomorfizmom, które mapują jedną grupę na drugą, zachowując operacje grupy. W ten sposób ludzie zaczęli badać coś, co nazywa się teraz konkretną kategorią grup, których przedmiotem są grupy, a strzały są homomorfizmami. Nie trzeba było długo czekać, by konkretne kategorie zastąpić kategoriami abstrakcyjnymi, ponownie opisanymi aksjomatycznie.
Ważną koncepcję kategorii wprowadzili Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane pod koniec II wojny światowej. Te nowoczesne kategorie należy odróżnić od kategorii Arystotelesa, które w obecnym kontekście są lepiej nazywane typami. Kategoria zawiera nie tylko obiekty, ale także strzałki (określane również jako morfizmy, transformacje lub odwzorowania) między nimi.
Wiele kategorii ma jako zestawy obiektów wyposażone w jakąś strukturę i strzałki, które zachowują tę strukturę. Istnieją zatem kategorie zbiorów (o pustej strukturze) i odwzorowań, grup i homomorfizmów grupowych, pierścieni i homomorfizmów pierścieniowych, przestrzeni wektorowych i przekształceń liniowych, przestrzeni topologicznych i ciągłych odwzorowań i tak dalej. Istnieje nawet, na jeszcze bardziej abstrakcyjnym poziomie, kategoria (małych) kategorii i funktorów, ponieważ nazywane są morfizmy między kategoriami, które zachowują relacje między przedmiotami i strzałkami.
Nie wszystkie kategorie można oglądać w ten konkretny sposób. Na przykład formuły systemu dedukcyjnego można postrzegać jako obiekty kategorii, której strzałki f: A → B są dedukcjami B z A. W rzeczywistości ten punkt widzenia jest ważny w informatyce teoretycznej, gdzie rozważa się formuły jako rodzaje i odliczenia jako operacje.
Bardziej formalnie kategoria składa się z (1) zbioru obiektów A, B, C,…, (2) dla każdej uporządkowanej pary obiektów w kolekcji skojarzony zbiór przekształceń, w tym tożsamość I A ∶ A → A, oraz (3) powiązane prawo kompozycji dla każdej uporządkowanej potrójnej liczby obiektów w kategorii, takie jak dla f ∶ A → B ig ∶ B → C kompozycja gf (lub g ○ f) jest przekształceniem z A na C - tj. gf ∶ A → C. Dodatkowo wymagane jest prawo asocjacyjne i tożsamości (gdzie kompozycje są zdefiniowane -ie), h (GF) = (Hg) F i 1 B f = F = F1.
W pewnym sensie obiekty kategorii abstrakcyjnej nie mają okien, jak monady Leibniza. Aby wnioskować o wnętrzu obiektu A wystarczy spojrzeć na wszystkie strzałki z innych obiektów na A. Na przykład w kategorii zbiorów elementy zestawu A mogą być reprezentowane przez strzałki z typowego zestawu jednoelementowego do A. Podobnie, w kategorii małych kategorii, jeśli jeden kategoria jest w jednym obiekcie i nie strzałki nonidentity, przedmioty o kategorii a, mogą być identyfikowane z funktorów 1 → a. Ponadto, jeśli dwa kategoria jest z dwoma obiektami oraz jeden nonidentity strzałką strzały A mogą być identyfikowane z funktorów 2 → A.
Struktury izomorficzne
Strzałka F: A → B jest nazywany izomorfizm jeśli jest strzałki G: A → odwrotny do F, to znaczy w taki sposób, g ○ f = 1 f ○ g = 1 B. Jest to napisane A ≅ B, a A i B są nazywane izomorficznymi, co oznacza, że mają one zasadniczo tę samą strukturę i nie ma potrzeby ich rozróżniania. Ponieważ byty matematyczne są obiektami kategorii, są one poddane jedynie izomorfizmowi. Ich tradycyjne konstrukcje teoretyczne, oprócz tego, że służą pożytecznemu celowi w wykazaniu spójności, są naprawdę nieistotne.
Na przykład w zwykłej konstrukcji pierścienia liczb całkowitych liczbę całkowitą definiuje się jako klasę równoważności par (m, n) liczb naturalnych, gdzie (m, n) jest równoważne (m ′, n ′), jeśli i tylko jeżeli m + n ′ = m ′ + n. Chodzi o to, że klasę równoważności (m, n) należy postrzegać jako m - n. Dla kategoryzatora ważne jest jednak to, że pierścień int liczb całkowitych jest początkowym obiektem w kategorii pierścieni i homomorfizmów - to znaczy, że dla każdego pierścienia unique występuje unikalny homomorfizm ℤ → ℝ. Patrząc w ten sposób, ℤ dotyczy wyłącznie izomorfizmu. W tym samym duchu należy powiedzieć, że nie ℤ zawiera się w polu numbers liczb wymiernych, ale tylko, że homomorfizm ℤ → ℚ jest jeden do jednego. Podobnie nie ma sensu mówić o teoretycznym przecięciu zbioru π i pierwiastku kwadratowym √-1, jeśli oba są wyrażone jako zestawy zbiorów zbiorów (ad infinitum).
Szczególnie interesujące w fundacjach i gdzie indziej są funktory sąsiednie (F, G). Są to pary funktorów między dwiema kategoriami ? i ℬ, które idą w przeciwnych kierunkach, tak że istnieje zestaw jeden do jednego między zestawem strzałek F (A) → B w ℬ a zestawem strzałek A → G (B) w ? - to znaczy, że zbiory są izomorficzne.
