Odpowiedź nieelastyczna
Powyższy sposób wyrażania [σ] w odniesieniu do [S] obowiązuje również dla ciał stałych wykazujących odpowiedź lepkosprężystą lub plastyczną, z tym wyjątkiem, że [S] należy zatem traktować nie tylko jako funkcję obecnej [E M] i θ, ale także jako zależne od wcześniejszej historii obu. Zakładając, że takie materiały wykazują sprężystą reakcję na nagłe zmiany naprężeń lub na małe odciążenie ze stanu odkształcania plastycznego, [S] można nadal wyrazić jako pochodną f, jak powyżej, ale pochodną należy rozumieć jako wziętą w odniesieniu do sprężystej zmienność odkształceń i należy ją przyjmować przy ustalonym θ i ze stałym wcześniejszym nieelastycznym odkształceniem i historią temperatur. Taka zależność od historii jest czasami reprezentowana jako zależność f od wewnętrznych zmiennych stanu, których prawa ewolucji są częścią nieelastycznego opisu konstytutywnego. Istnieją również prostsze modele reakcji nieelastycznej, a następnie najczęściej stosowane formy plastyczności i pełzania w izotropowych ciałach stałych.
Dla dobrego przybliżenia odkształcenie plastyczne krystalicznych ciał stałych nie powoduje zmiany objętości; a hydrostatyczne zmiany naprężeń, będące równą zmianą wszystkich naprężeń normalnych, nie mają wpływu na przepływ tworzywa sztucznego, przynajmniej w przypadku zmian, które są tego samego rzędu lub wielkości co wytrzymałość ciała stałego na ścinanie. Zatem reakcja plastyczna jest zwykle formułowana jako naprężenie dewiacyjne, które jest zdefiniowane przez τ ij = σ ij - δ ij (σ 11 + σ 22 + σ 33) / 3. Zgodnie z Richardem von Misesem, w procedurze, która okazała się umiarkowanie dobrze zgadzać z eksperymentem, relację przepływu plastycznego formułuje się w kategoriach drugiego niezmiennika naprężenia dewiacyjnego, zwykle przepisywanego jako
i nazywa się równoważnym naprężeniem rozciągającym. Definicję sporządzono w taki sposób, że dla stanu napięcia jednoosiowego σ równa się naprężeniu rozciągającemu, a relacja naprężenie-odkształcenie dla ogólnych stanów naprężenia jest formułowana w oparciu o dane z próby rozciągania. W szczególności odkształcenie plastyczne ε p w teście rozciągania jednoosiowego jest zdefiniowane z ε p = ε - σ / E, gdzie ε jest interpretowane jako odkształcenie w teście rozciągania zgodnie z definicją logarytmiczną ε = lnλ, moduł sprężystości E wynosi zakłada się, że pozostanie niezmieniony wraz z deformacją, a σ / E << 1.
Zatem w teorii teorii niezależności od plastyczności zakłada się, że dane wytrzymałości na rozciąganie (lub ściskanie z odpowiednimi odwróceniami znaków) z testu obciążenia monotonicznego definiują funkcję ε p (σ). W wersjach teorii lepkoplastycznej lub pełzania w wysokiej temperaturze dane na rozciąganie interpretuje się w celu zdefiniowania dε P / dt jako funkcji σ w najprostszym przypadku, reprezentującego na przykład pełzanie wtórne oraz jako funkcję σ i ε p w teoriach przeznaczony do reprezentowania przejściowych efektów pełzania lub reakcji wrażliwej na szybkość w niższych temperaturach. Rozważ najpierw model materiału sztywno-plastikowego, w którym całkowicie ignorowana jest sprężysta odkształcalność, co czasem jest odpowiednie w przypadku problemów z dużym przepływem tworzywa sztucznego, na przykład podczas formowania metalu lub długotrwałego pełzania w płaszczu Ziemi lub do analizy obciążeń zgniatających tworzywa sztucznego na konstrukcjach. Szybkość tensora odkształceń D ij jest zdefiniowana przez 2D ij = ∂v i / ∂x j + ∂v j / ∂x i, a w przypadku sztywnego plastiku [D] można zrównać z tym, co można uznać za jego część z tworzywa sztucznego [D p], podane jako D p / ij = 3 (dε p / dt) τ ij / 2σ. Czynniki liczbowe zapewniają zgodność między D p / 11 i dε p / dt dla jednoosiowego napięcia w jednym kierunku. Równanie to implikuje
które muszą być zintegrowane z poprzednią historią, aby uzyskać ε p zgodnie z wymaganiami dla modeli lepoplastycznych, w których dε p / dt jest funkcją σ i ε p. W wersji niezależnej od prędkości [D p] jest definiowane jako zero, ilekroć σ jest mniejsza niż najwyższa wartość osiągnięta w poprzedniej historii lub gdy bieżąca wartość σ jest najwyższą wartością, ale dσ / dt <0. (W kontekście sprężysto-plastycznym oznacza to, że „odciążenie” obejmuje jedynie reakcję sprężystą.) W przypadku idealnie plastycznego ciała stałego, które ma idealną swobodę płynięcia bez wzrostu naprężeń, gdy σ jest równe poziomowi plastyczności, dε p / dt wynosi uważany za nieokreślony, ale z konieczności nieujemny parametr, który można określić (czasem nie jednoznacznie) tylko poprzez pełne rozwiązanie problemu wartości granicznej mechaniki stałej.
Model materiału sprężysto-plastycznego formułuje się następnie pisząc D ij = D e / ij + D p / ij, gdzie D p / ij podano w kategoriach naprężenia i ewentualnie prędkości naprężenia, jak powyżej, i gdzie współczynniki odkształcenia sprężystego [D e] odnoszą się do naprężeń za pomocą zwykłego liniowego wyrażenia sprężystego D e / ij = (1 + ν) σ ij * / E - νδ ij (σ 11 * + σ 22 * + σ 33 *) / E. Tutaj współczynniki stresu są wyrażane jako współczynniki ko-rotacyjne Jaumanna
jest pochodną podążającą za ruchem punktu materialnego i gdzie spin Ω ij jest zdefiniowany przez 2Ω ij = ∂v i / ∂x j - ∂v j / ∂x i. Współczynniki naprężeń współobrotowych są obliczane przez obserwatora, który obraca się ze średnią prędkością kątową elementu materialnego. Elastyczna część relacji naprężenie-odkształcenie powinna być zgodna z istnieniem energii swobodnej f, jak omówiono powyżej. Nie jest to dokładnie zaspokojone przez właśnie podaną formę, ale różnice między nią a tą, która jest spójna w ten sposób, obejmują dodatkowe terminy, które są rzędu σ / E 2 razy σ kl * i są nieistotne w typowych przypadkach, w których stosuje się teorię, ponieważ σ / E jest zwykle wyjątkowo małą częścią jedności, powiedzmy od 10 −4 do 10 −2. Wersja teorii małego odkształcenia jest powszechnie stosowana do celów analizy naprężeń sprężysto-plastycznych. W tych przypadkach [D] zastępuje się ∂ [ε (X, t)] / ∂t, gdzie [ε] jest tensorem małego odkształcenia, ∂ / ∂x z ∂ / ∂X we wszystkich równaniach, a [σ *] z ∂ [σ (X, t)] / ∂t. Dwa ostatnie kroki nie zawsze mogą być uzasadnione, nawet w przypadkach bardzo małych odkształceń, gdy na przykład w materiale niezależnym od prędkości dσ / dε p nie jest duży w porównaniu z σ lub gdy prędkości obrotowe włókien materiału mogą stać się znacznie większe niż tempo rozciągania, co stanowi problem w przypadku wyboczenia nawet w przypadku czysto elastycznych ciał stałych.
