Hipoteza Riemanna w teorii liczb, hipoteza niemieckiego matematyka Bernharda Riemanna dotycząca lokalizacji rozwiązań funkcji zeta Riemanna, która jest powiązana z twierdzeniem o liczbie pierwszej i ma ważne implikacje dla rozkładu liczb pierwszych. Riemann zawarł hipotezę w artykule „Ueber die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse” („O liczbie pierwszych liczb mniejszych niż podana ilość”), opublikowanym w wydaniu Monatsberichte der Berliner Akademie z listopada 1859 r. („Monthly Review” Akademii Berlińskiej ”).
Funkcja zeta jest zdefiniowana jako szereg nieskończony ζ (s) = 1 + 2 −s + 3 −s + 4 −s + ⋯ lub, w bardziej zwartej notacji, , gdzie suma (Σ) warunków dla n przebiega od 1 do nieskończoności przez dodatnie liczby całkowite, a s jest stałą liczbą całkowitą dodatnią większą niż 1. Funkcja zeta została po raz pierwszy zbadana przez szwajcarskiego matematyka Leonharda Eulera w XVIII wieku. (Z tego powodu jest czasami nazywany funkcją zeta Eulera. Dla ζ (1) ta seria jest po prostu serią harmonicznych, o której wiadomo, że starożytność rośnie bez ograniczeń - tzn. Jej suma jest nieskończona.) Euler osiągnął natychmiastową sławę, kiedy okazało się, że w 1735 ζ (2) = π 2 /6, problemem, który wymyka się największe matematyków epoce, w tym rodzina szwajcarski Bernoulliego (Jakoba, Johann Daniel). Mówiąc bardziej ogólnie, Euler odkrył (1739) związek między wartością funkcji zeta dla parzystych liczb całkowitych a liczbami Bernoulliego, które są współczynnikami rozszerzenia szeregu Taylora x / (e x - 1). (Zobacz także funkcję wykładniczą.) Jeszcze bardziej zdumiewające, w 1737 roku Euler odkrył formułę odnoszącą się do funkcji zeta, która obejmuje sumowanie nieskończonej sekwencji terminów zawierających dodatnie liczby całkowite oraz nieskończony iloczyn, który obejmuje każdą liczbę pierwszą:
Riemann rozszerzył badanie funkcji zeta o liczby zespolone x + iy, gdzie i = pierwiastek kwadratowy z √-1, z wyjątkiem linii x = 1 w płaszczyźnie zespolonej. Riemann wiedział, że funkcja zeta jest równa zero dla wszystkich ujemnych parzystych liczb całkowitych -2, -4, -6,
(tak zwane zerowe trywialne) i że ma nieskończoną liczbę zer w krytycznym pasku liczb zespolonych, które mieszczą się dokładnie między liniami x = 0 i x = 1. Wiedział również, że wszystkie nietrywialne zera są symetryczne względem krytyczny linii x = 1 / 2. Riemann przypuszczał, że wszystkie nietrywialne zera znajdują się na linii krytycznej, hipoteza, która później stała się znana jako hipoteza Riemanna.
W 1914 angielski matematyka Godfrey Harold Hardy okazało się, że nieskończoną liczbę rozwiązań ç (S) = 0 istnieje w krytycznym linii X = 1 / 2. Następnie różni matematycy wykazali, że duża część rozwiązań musi leżeć na linii krytycznej, chociaż częste „dowody”, że wszystkie nietrywialne rozwiązania są na niej, są wadliwe. Komputery były również używane do testowania rozwiązań, a pierwsze 10 trylionów niebanalnych rozwiązań leżało na linii krytycznej.
Dowód hipotezy Riemanna miałby daleko idące konsekwencje dla teorii liczb i zastosowania liczb pierwszych w kryptografii.
Hipoteza Riemanna od dawna uważana jest za największy nierozwiązany problem w matematyce. Był to jeden z 10 nierozwiązanych problemów matematycznych (23 w drukowanym adresie) przedstawiony jako wyzwanie dla matematyków XX wieku przez niemieckiego matematyka Davida Hilberta na II Międzynarodowym Kongresie Matematyki w Paryżu 8 sierpnia 1900 r. W 2000 r. Amerykański matematyk Stephen Smale zaktualizował pomysł Hilberta o listę ważnych problemów XXI wieku; hipoteza Riemanna była numerem jeden. W 2000 roku został wyznaczony jako problem milenijny, jeden z siedmiu problemów matematycznych wybranych przez Clay Mathematics Institute of Cambridge, Massachusetts, USA, do nagrody specjalnej. Rozwiązanie każdego problemu milenijnego jest warte 1 milion dolarów. W 2008 r. Amerykańska Agencja Zaawansowanych Projektów Badawczych Obrony (DARPA) wymieniła ją jako jedno z Wyzwań Matematycznych DARPA, 23 problemów matematycznych, dla których prosiła o propozycje badań w sprawie finansowania - „Wyzwanie matematyczne Dziewiętnaście: rozstrzygnięcie hipotezy Riemanna. Święty Graal teorii liczb. ”
