Geometria euklidesowa
Jeśli weźmiemy pod uwagę geometrię euklidesową, wyraźnie dostrzegamy, że odnosi się ona do praw regulujących pozycje sztywnych ciał. Okazuje się genialna myśl o prześledzeniu wszystkich relacji dotyczących ciał i ich względnych pozycji do bardzo prostej koncepcji „odległości” (Strecke). Odległość oznacza sztywny korpus, na którym określono dwa materialne punkty (znaki). Pojęcie równości odległości (i kątów) odnosi się do eksperymentów obejmujących zbiegi okoliczności; te same uwagi dotyczą twierdzeń o zgodności. Geometria euklidesowa w formie, w której została nam przekazana od Euclida, wykorzystuje podstawowe pojęcia „linia prosta” i „płaszczyzna”, które wydają się nie odpowiadać, a w żadnym razie nie tak bezpośrednio, doświadczeniom dotyczące położenia sztywnych ciał. W tym względzie należy zauważyć, że pojęcie linii prostej można sprowadzić do odległości.1 Co więcej, geometrycy byli mniej zainteresowani przedstawieniem relacji swoich podstawowych pojęć do doświadczenia niż logiczną dedukcją zdań geometrycznych z kilku aksjomatów wypowiedzianych na wstępie.
Nakreślmy krótko, jak być może podstawę geometrii euklidesowej można uzyskać z pojęcia odległości.
Zaczynamy od równości odległości (aksjomat równości odległości). Załóżmy, że z dwóch nierównych odległości jedna jest zawsze większa od drugiej. Te same aksjomaty obowiązują dla nierówności odległości, jak dla nierówności liczb.
Trzy odległości AB 1, BC 1, CA 1 mogą, jeżeli CA 1 zostanie odpowiednio wybrane, nałożyć swoje oznaczenia BB 1, CC 1, AA 1 na siebie na sobie w taki sposób, że powstanie trójkąt ABC. Odległość CA 1 ma górną granicę, dla której ta konstrukcja jest nadal możliwa. Punkty A, (BB ') i C leżą następnie w „linii prostej” (definicja). Prowadzi to do pojęć: wytwarzanie odległości o kwotę równą sobie; dzielenie odległości na równe części; wyrażanie odległości w postaci liczby za pomocą pręta pomiarowego (definicja odstępu między dwoma punktami).
Po uzyskaniu w ten sposób koncepcji odstępu między dwoma punktami lub długości odległości potrzebujemy tylko następującego aksjomatu (twierdzenie Pitagorasa), aby analitycznie dojść do geometrii euklidesowej.
Do każdego punktu przestrzeni (ciała odniesienia) można przypisać trzy liczby (współrzędne) x, y, z - i odwrotnie - w taki sposób, że dla każdej pary punktów A (x 1, y 1, z 1) a twierdzenie B (x 2, y 2, z 2) utrzymuje:
miara AB = sqroot {(x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2 + (z 2 - z 1) 2 }.
Na tej podstawie można następnie zbudować czysto logicznie wszystkie dalsze koncepcje i zdania geometrii euklidesowej, w szczególności także zdania dotyczące linii prostej i płaszczyzny.
Te uwagi nie mają oczywiście na celu zastąpienia ściśle aksjomatycznej konstrukcji geometrii euklidesowej. Chcemy jedynie w wiarygodny sposób wskazać, w jaki sposób wszystkie koncepcje geometrii można prześledzić do odległości. Równie dobrze moglibyśmy opisać całą podstawę geometrii euklidesowej w ostatnim twierdzeniu powyżej. Relacja z podstawami doświadczenia zostałaby następnie dostarczona za pomocą twierdzenia uzupełniającego.
Współrzędną można i należy wybrać tak, aby dwie pary punktów oddzielone równymi odstępami, obliczonymi za pomocą twierdzenia Pitagorasa, mogły pokrywać się z jedną i tą samą odpowiednio wybraną odległością (na bryle).
Pojęcia i twierdzenia geometrii euklidesowej można wywodzić z twierdzenia Pitagorasa bez wprowadzenia sztywnych ciał; ale te koncepcje i zdania nie miałyby wówczas treści, które mogłyby zostać przetestowane. Nie są to „prawdziwe” twierdzenia, ale tylko logicznie poprawne zdania o czysto formalnej treści.
