Przekrój stożkowy, zwany również w kształcie stożka, w geometrii, dowolna krzywa utworzona przez przecięcie płaszczyzny i prawego okrągłego stożka. W zależności od kąta płaszczyzny względem stożka przecięciem jest koło, elipsa, hiperbola lub parabola. Specjalne (zdegenerowane) przypadki przecięcia występują, gdy płaszczyzna przechodzi tylko przez wierzchołek (tworząc pojedynczy punkt) lub przez wierzchołek i inny punkt na stożku (tworząc jedną linię prostą lub dwie przecinające się linie proste). Zobacz rysunek.
geometria rzutowa: rzutowe odcinki stożkowe
Przekrój stożkowy można uznać za płaski przekrój prawego okrągłego stożka (patrz rysunek). Odnośnie
Podstawowe opisy, ale nie nazwy, odcinków stożkowych można prześledzić do Menaechmusa (rozkwit ok. 350 pne), ucznia zarówno Platona, jak i Eudoksa z Cnidusa. Apolloniusz z Pergi (ok. 262–190 pne), znany jako „Wielki Geometr”, nadał sekcjom stożkowym swoje nazwy i był pierwszym, który zdefiniował dwie gałęzie hiperboli (które zakładają podwójny stożek). Ośmiotomowy traktat Apolloniusza o częściach stożkowych, stożek, jest jednym z największych dzieł naukowych ze starożytnego świata.
Definicja analityczna
Stożki można również opisać jako krzywe płaskie, które są ścieżkami (loci) poruszającego się punktu, dzięki czemu stosunek jego odległości od stałego punktu (ogniska) do odległości od linii stałej (kierownica) jest stały, zwany mimośrodowość krzywej. Jeśli mimośrodowość wynosi zero, krzywa jest kołem; jeśli jest równy jeden, parabola; jeśli mniej niż jeden, elipsa; a jeśli większy niż jeden, hiperbola. Zobacz rysunek.
Każda sekcja stożkowa odpowiada wykresowi równania wielomianowego drugiego stopnia w postaci Ax 2 + By 2 + 2Cxy + 2Dx + 2Ey + F = 0, gdzie x i y są zmiennymi, a A, B, C, D, E i F są współczynnikami zależnymi od konkretnej stożkowej. Odpowiednim wyborem osi współrzędnych można sprowadzić równanie dla dowolnej stożkowej do jednej z trzech prostych form r: x 2 / a 2 + y 2 / b 2 = 1, x 2 / a 2 - y 2 / b 2 = 1 lub y 2 = 2px, odpowiednio odpowiadające elipsie, hiperboli i paraboli. (Elipsa, w której a = b jest w rzeczywistości okręgiem). Szerokie zastosowanie układów współrzędnych do analizy algebraicznej krzywych geometrycznych pochodzi od René Descartesa (1596–1650). Zobacz Historia geometrii: geometria kartezjańska.
Pochodzenie greckie
Wczesna historia sekcji stożkowych łączy się z problemem „podwojenia sześcianu”. Według Eratostenesa z Cyreny (ok. 276–190 pne) lud Delos skonsultował się z wyrocznią Apolla w celu pomocy w zakończeniu plagi (ok. 430 pne) i polecono mu zbudować Apollo nowy ołtarz o objętości dwukrotnie większej od objętości starego ołtarza i o tym samym kształcie sześciennym. Zakłopotani Delianie skonsultowali się z Platonem, który stwierdził, że „wyrocznia oznaczała nie tyle, że bóg chciał ołtarza podwójnej wielkości, ale że chciał, stawiając im zadanie, zawstydzić Greków za ich zaniedbanie matematyki i ich pogardę dla geometrii ”. Hipokrates z Chios (ok. 470–410 pne) po raz pierwszy odkrył, że „problem Deliana” można sprowadzić do znalezienia dwóch średnich proporcji między a a 2a (objętości odpowiednich ołtarzy) - to znaczy, określając xiy tak, że a: x = x: y = y: 2a. Jest to równoważne rozwiązywaniu jednocześnie dwóch dowolnych równań x 2 = ay, y 2 = 2ax i xy = 2a 2, które odpowiadają odpowiednio dwóm parabolom i hiperboli. Później Archimedes (ok. 290–211 pne) pokazał, jak używać odcinków stożkowych do dzielenia kuli na dwa segmenty o zadanym stosunku.
Diokles (ok. 200 pne) wykazał geometrycznie, że promienie - na przykład ze Słońca - które są równoległe do osi paraboloidy obrotu (wytworzonej przez obrócenie paraboli wokół osi symetrii) spotykają się w ognisku. Podobno Archimedes wykorzystał tę właściwość do podpalenia wrogich statków. O głównych właściwościach elipsy wspomniał Anthemius z Tralles, jeden z architektów katedry Hagia Sophia w Konstantynopolu (ukończony w 537 r.), Jako sposób na zapewnienie, że ołtarz będzie oświetlony światłem słonecznym przez cały dzień.
